Analysis Beispiele

$y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + y - 2 y^{2} + 5 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + y' - 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 5 (2 x)$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$3 y^{2} y' + y' - 4 y y' + 10 x$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + 10 x + y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' - 4 y y' + y' = - 10 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' - 4 y y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) - 4 y y' + y' = - 10 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

Schritt 5.2.3

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' = - 10 x$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 y)$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1 = - 10 x$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} - 4 y) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 5.3.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 10 x$

Schritt 5.3.1.1.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 10 x$

Schritt 5.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 10 x$

Schritt 5.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 10 x$

Schritt 5.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 10 x$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 10 x$

Schritt 5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ durch $(3 y - 1) (y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 10 x$ durch $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x}{(3 y - 1) (y - 1)}$