Analysis Beispiele

$- 2 y + 5 x^{2} - 5 y^{2} = - 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 2 y + 5 x^{2} - 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 y + 5 x^{2} - 5 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 y' + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 y' + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 y' + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$- 2 y' + 10 x + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 y' + 10 x - 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 2 y' + 10 x - 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 y' + 10 x - 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 2 y' + 10 x - 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 2 y' + 10 x - 5 (2 y y')$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 2 y' + 10 x - 10 y y'$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$- 10 y y' + 10 x - 2 y'$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 10 y y' + 10 x - 2 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 y y' - 2 y' = - 10 x$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 10 y y' - 2 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 10 y y'$ heraus.

$2 y' (- 5 y) - 2 y' = - 10 x$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y'$ heraus.

$2 y' (- 5 y) + 2 y' \cdot - 1 = - 10 x$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (- 5 y) + 2 y' \cdot - 1$ heraus.

$2 y' (- 5 y - 1) = - 10 x$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- 5 y - 1) = - 10 x$ durch $2 (- 5 y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- 5 y - 1) = - 10 x$ durch $2 (- 5 y - 1)$ .

$\frac{2 y' (- 5 y - 1)}{2 (- 5 y - 1)} = \frac{- 10 x}{2 (- 5 y - 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (- 5 y - 1)}{2 (- 5 y - 1)} = \frac{- 10 x}{2 (- 5 y - 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 5 y - 1)}{- 5 y - 1} = \frac{- 10 x}{2 (- 5 y - 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5 y - 1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 5 y - 1)}{- 5 y - 1} = \frac{- 10 x}{2 (- 5 y - 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- 5 y - 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- 5 y - 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- 5 y - 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 5 x}{- 5 y - 1}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{5 x}{- 5 y - 1}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 y$ heraus.

$y' = - \frac{5 x}{- (5 y) - 1}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = - \frac{5 x}{- (5 y) - 1 (1)}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 y) - 1 (1)$ heraus.

$y' = - \frac{5 x}{- (5 y + 1)}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.6.1

Schreibe $- (5 y + 1)$ als $- 1 (5 y + 1)$ um.

$y' = - \frac{5 x}{- 1 (5 y + 1)}$

Schritt 5.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{5 x}{5 y + 1}$

Schritt 5.3.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{5 x}{5 y + 1}$

Schritt 5.3.3.6.4

Mutltipliziere $\frac{5 x}{5 y + 1}$ mit $1$ .

$y' = \frac{5 x}{5 y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x}{5 y + 1}$