Analysis Beispiele

$- 5 x^{2} + y^{2} - x^{3} = - x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 5 x^{2} + y^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{2} + y^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 10 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 10 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 10 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 10 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 10 x + 2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 10 x + 2 y y' - (3 x^{2})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 10 x + 2 y y' - 3 x^{2}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 2 y y' - 10 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 x^{2} + 2 y y' - 10 x = - 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 10 x = - 1 + 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Addiere $10 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' = - 1 + 3 x^{2} + 10 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 1 + 3 x^{2} + 10 x$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = - 1 + 3 x^{2} + 10 x$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{10 x}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (5 x)}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (5 x)}{2 (y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (5 x)}{2 y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{5 x}{y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2 y} + \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{5 x}{y}$