Analysis Beispiele

$3 x^{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 1

Schreibe $3 x^{2} + \frac{x}{2}$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{x}{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 x^{2} + \frac{x}{2} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{2} d x + \int \frac{x}{2} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{2} d x + \int \frac{x}{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{x}{2} d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{x}{2} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} \int x d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$x^{3} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{3} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 x^{2} + \frac{x}{2}$ .

$F (x) =$ $x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + C$