Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x^{15} + 15^{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} x^{15} + 15^{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{15} d x + \int_{0}^{1} 15^{x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{15}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{16} x^{16}$ .

$\frac{1}{16} x^{16}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 15^{x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $15^{x}$ nach $x$ ist $\frac{15^{x}}{\ln (15)}$ .

$\frac{1}{16} x^{16}]_{0}^{1} + \frac{15^{x}}{\ln (15)}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{16} x^{16}]_{0}^{1}$ und $\frac{15^{x}}{\ln (15)}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{16} x^{16} + \frac{15^{x}}{\ln (15)}]_{0}^{1}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{16} x^{16} + \frac{15^{x}}{\ln (15)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{16} \cdot 1^{16} + \frac{15^{1}}{\ln (15)}) - (\frac{1}{16} \cdot 0^{16} + \frac{15^{0}}{\ln (15)})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{16} \cdot 1 + \frac{15^{1}}{\ln (15)} - (\frac{1}{16} \cdot 0^{16} + \frac{15^{0}}{\ln (15)})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $1$ .

$\frac{1}{16} + \frac{15^{1}}{\ln (15)} - (\frac{1}{16} \cdot 0^{16} + \frac{15^{0}}{\ln (15)})$

Schritt 5.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{16} + \frac{15}{\ln (15)} - (\frac{1}{16} \cdot 0^{16} + \frac{15^{0}}{\ln (15)})$

Schritt 5.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{16} + \frac{15}{\ln (15)} - (\frac{1}{16} \cdot 0 + \frac{15^{0}}{\ln (15)})$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{16}$ mit $0$ .

$\frac{1}{16} + \frac{15}{\ln (15)} - (0 + \frac{15^{0}}{\ln (15)})$

Schritt 5.2.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{16} + \frac{15}{\ln (15)} - (0 + \frac{1}{\ln (15)})$

Schritt 5.2.2.7

Addiere $0$ und $\frac{1}{\ln (15)}$ .

$\frac{1}{16} + \frac{15}{\ln (15)} - \frac{1}{\ln (15)}$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{16} + \frac{15 - 1}{\ln (15)}$

Schritt 5.2.2.9

Subtrahiere $1$ von $15$ .

$\frac{1}{16} + \frac{14}{\ln (15)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{16} + \frac{14}{\ln (15)}$

Dezimalform:

$5.23227122 \dots$

Schritt 7