Analysis Beispiele

$x \cdot e^{- x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $x \cdot e^{- x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = x \cdot e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \cdot e^{- x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x^{2}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ um.

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Schritt 4.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 2 e^{- x^{2}} x$ um.

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} u_{2} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \cdot e^{- x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$