Analysis Beispiele

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = u_{1} + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u_{1} + 1$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Schritt 7.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \int {(u_{2} - 1)}^{3} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 8

Sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Dann ist $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 8.1

Es sei $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Schritt 8.1.1

Differenziere ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Schritt 8.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Schritt 8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{1}{2} \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2}$ und ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Schritt 9.3

Bringe ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Schritt 9.4

Schreibe ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ als $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ um.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 11.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 11.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Schritt 11.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ als ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{4} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Schritt 11.2.3

Bringe ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Schritt 11.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Schritt 11.2.4.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 11.2.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.2.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Schritt 11.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{1}{4} \int ({({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{3} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

Schritt 12.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.11

Bewege ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.12

Bewege ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.13

Bewege ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.14

Versetze die Klammern.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.17

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 12.18.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.19

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.20

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

Schritt 12.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.22

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.24

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3 - 3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.27

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{0}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.28

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 12.28.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 (0)}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.28.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.28.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.28.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 12.28.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{0}{1}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.28.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{0} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.29

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.30

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.31

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.32

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.33

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.34

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.34.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.34.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.35

Vereinfache.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.36

Potenziere $u_{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.37

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.38

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.39

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.40

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.41

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.42

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.43

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.44

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.45

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.46

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 12.46.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.46.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.46.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.46.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.46.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.46.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.47

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.48

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.49

Stelle $1$ und $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ um.

$\frac{1}{4} \int - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 + 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.50

Bewege $1$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.51

Stelle $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ und $3 {u_{3}}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Schritt 12.52

Bewege $1$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Schritt 12.53

Bewege $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 d u_{3}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe $- 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ als $- {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ um.

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 d u_{3}$

Schritt 13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 1 d u_{3}$

Schritt 14

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int 3 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 15

Da $3$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (3 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 16

Das Integral von ${u_{3}}^{- 1}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 17

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 18

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 19

Da $- 3$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Schritt 20

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{3}$ gleich $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int d u_{3})$

Schritt 21

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + u_{3} + C)$

Schritt 22

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (3 \ln (| u_{3} |) + \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} - 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3}) + C$

Schritt 23

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 23.1

Ersetze alle $u_{3}$ durch ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {u_{2}}^{2}) + C$

Schritt 23.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(u_{1} + 1)}^{2}) + C$

Schritt 23.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Schritt 24

Vereinfache.

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Schritt 24.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}$ .

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Schritt 24.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Schritt 24.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Schritt 24.1.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Schritt 24.1.4

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Schritt 24.1.5

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Schritt 24.1.6

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Schritt 24.1.7

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x + 0)}^{2}) + C$

Schritt 24.1.8

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 24.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 24.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{1}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.2.2

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 24.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{2 (\frac{1}{2})} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{2 (\frac{1}{2})} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{1} + x^{2}) + C$

Schritt 24.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x + x^{2}) + C$

Schritt 24.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2})) + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4

Vereinfache.

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Schritt 24.4.1

Multipliziere $\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}))$ .

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Schritt 24.4.1.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.1.2

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $\ln (x^{2})$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 (2)} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2} (- 3 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.6

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $x$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 24.4.7

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 24.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.5.1

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{3 (2 \ln (x))}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 24.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 24.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (2 \ln (x))$ heraus.

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 24.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 24.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 24.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (\ln (x))}{2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 24.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2 x} - \frac{3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Schritt 25

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Schritt 26

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$