Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Schritt 1

Da $π$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $π$ aus dem Integral.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Dann ist $d u = - \frac{4}{5} d x$ , folglich $- \frac{5}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $20 - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (5) + 4 (- x)$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

Schritt 2.1.3

Da $\frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 (5 - x)}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Schritt 2.1.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.1.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.1.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.1.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

Schritt 2.1.9.2

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

Schritt 2.1.9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.9.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

Schritt 2.1.9.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{5}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ ein.

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20 - 4 \cdot 0$ und $5$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe $20$ als $- 1 (- 20)$ um.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 \cdot 0$ heraus.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ heraus.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

Schritt 2.3.1.4

Stelle die Terme um.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

Schritt 2.3.1.5

Faktorisiere $5$ aus $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ heraus.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

Schritt 2.3.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

Schritt 2.3.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

Schritt 2.3.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

Schritt 2.3.1.6.4

Dividiere $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ durch $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

Schritt 2.3.2

Schreibe $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ als $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ um.

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

Schritt 2.3.4

Addiere $- 4$ und $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ ein.

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20 - 4 \cdot 5$ und $5$ .

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Schritt 2.5.1.1

Schreibe $20$ als $- 1 (- 20)$ um.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 \cdot 5$ heraus.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ heraus.

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

Schritt 2.5.1.4

Stelle die Terme um.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

Schritt 2.5.1.5

Faktorisiere $5$ aus $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ heraus.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

Schritt 2.5.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

Schritt 2.5.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

Schritt 2.5.1.6.4

Dividiere $- 1 (4 - 4)$ durch $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

Schritt 2.5.2

Schreibe $- 1 (4 - 4)$ als $- (4 - 4)$ um.

$u_{upper} = - (4 - 4)$

Schritt 2.5.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$u_{upper} = - 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{4}{5}$ zu dividieren.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

Schritt 5

Da $\frac{5}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{5}{4}$ aus dem Integral.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $π$ und $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Schritt 6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $0$ und $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Schritt 8.2.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Schritt 8.2.5

Kombiniere $- 64$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

Schritt 8.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

Schritt 8.2.7

Subtrahiere $\frac{64}{3}$ von $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

Schritt 8.2.9

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Schritt 8.2.10

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.2.11

Mutltipliziere $64$ mit $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

Schritt 8.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $320$ und $12$ .

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Schritt 8.2.13.1

Faktorisiere $4$ aus $320 π$ heraus.

$\frac{4 (80 π)}{12}$

Schritt 8.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

Schritt 8.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

Schritt 8.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{80 π}{3}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{80 π}{3}$

Dezimalform:

$83.77580409 \dots$

Schritt 10