Analysis Beispiele

$\int \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

Schritt 3

Multipliziere ${(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Schritt 3.2

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Schritt 3.3

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Schritt 3.4

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Schritt 3.5

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Schritt 3.6

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) x^{- 2} d x$

Schritt 3.7

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - - - 1) x^{- 2} d x$

Schritt 3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1)) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1) x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{- 2} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.11

Bewege $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.12

Bewege $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.13

Bewege $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.14

Versetze die Klammern.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.16

Addiere $2$ und $2$ .

$\int x^{4} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.18

Addiere $4$ und $2$ .

$\int x^{6} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{6 - 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.20

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\int x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.21

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4} - 3 x^{2 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.23

Addiere $2$ und $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4} - 3 x^{4 - 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.25

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.26

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.27

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.28

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2 - 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.29

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{0} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.30

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.31

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.32

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 + 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.33

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - 1 x^{- 2} d x$

Schritt 3.34

Bewege $3$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 1 x^{- 2} + 3 d x$

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 1 x^{- 2} + 3 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{4} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

Schritt 11.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$