Analysis Beispiele

$(\arcsin (e^{5 x}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = e^{5 x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{5 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{5 x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{5 x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{5 x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Kombiniere $e^{5 x}$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ .

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Schritt 4.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Kombiniere $5$ und $\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \cdot 1$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ mit $1$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$