Analysis Beispiele

$\frac{1}{e^{x} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{e^{x} + 1}$ als ${(e^{x} + 1)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = e^{x} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + 1$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Schritt 3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} (e^{x} + 0)$

Schritt 5.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$- {(e^{x} + 1)}^{- 2} e^{x}$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}} e^{x}$

Schritt 6.2

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}}$