Analysis Beispiele

$x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y = 7$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y) = \frac{d}{d x} (7)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) - 4 y'$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 y x - 4 y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y'$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $4 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x^{2} y' - 4 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 x^{2} y'$ heraus.

$2 y' x^{2} - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 4 y'$ heraus.

$2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2 = - 3 x^{2} - 4 x y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2$ heraus.

$2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ durch $2 (x^{2} - 2)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ durch $2 (x^{2} - 2)$ .

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 2$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x y$ heraus.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (x^{2} - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{(x^{2} - 2) \cdot 2}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 2) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2$ heraus.

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Schritt 5.3.3.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.5.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x y \cdot 2$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.5.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)$ heraus.

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x) - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x) - (4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - (4 y)$ heraus.

$y' = \frac{x (- (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.6.4.1

Schreibe $- (3 x + 4 y)$ als $- 1 (3 x + 4 y)$ um.

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 5.3.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$