Analysis Beispiele

$x^{2} - x^{3} = - 2 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x - (3 x^{2})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x - 3 x^{2}$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 4 y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 x^{2} + 2 x = - 4 y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ um.

$- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ durch $- 4 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y y' = - 3 x^{2} + 2 x$ durch $- 4 y$ .

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y y'}{- 4 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 x}{- 4 y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 4$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 (x)}{- 4 y}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 (x)}{2 (- 2 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{2 x}{2 (- 2 y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} + \frac{x}{- 2 y}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 x^{2}}{4 y} - \frac{x}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{4 y} - \frac{x}{2 y}$