Analysis Beispiele

$f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 \cos (4 x - 2) + 5 x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Schritt 5

Sei $u = 4 x - 2$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int 5 x d x$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$5 \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int 5 x d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u) + \int 5 x d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $5$ .

$\frac{5}{4} \int \cos (u) d u + \int 5 x d x$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + \int 5 x d x$

Schritt 10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 \int x d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{5}{4} \sin (u) + 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} \sin (u) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 2$ .

$\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$