Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{1}{x^{2}}}$ als $e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{\frac{1}{x^{2}}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x^{2}}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} \ln (x)}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}$

Schritt 3.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2 x}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}}$

Schritt 3.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \cdot 2 x}}$

Schritt 3.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x}}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}}$

Schritt 3.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{1 + 1}}}$

Schritt 3.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$e^{\frac{1}{2} \cdot 0}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 6.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$