Analysis Beispiele

$\int \frac{x - 2}{2 x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - 2}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x - 2) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (x - 2) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (x - 2) x^{- 2} d x$

Schritt 3

Multipliziere $(x - 2) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} \int x \cdot x^{- 2} - 2 x^{- 2} d x$

Schritt 4

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{1} x^{- 2} - 2 x^{- 2} d x$

Schritt 4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int x^{1 - 2} - 2 x^{- 2} d x$

Schritt 4.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- 1} - 2 x^{- 2} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int x^{- 1} d x + \int - 2 x^{- 2} d x)$

Schritt 6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C + \int - 2 x^{- 2} d x)$

Schritt 7

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C - 2 \int x^{- 2} d x)$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C - 2 (- x^{- 1} + C))$

Schritt 9

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + \frac{2}{x}) + C$