Analysis Beispiele

$3 x^{3} - 5 - 2 y^{3} = x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x^{3} - 5 - 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 5 - 2 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$9 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$9 x^{2} + 0 - 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 x^{2} + 0 - 2 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$9 x^{2} + 0 - 6 y^{2} y'$

Schritt 2.5

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$9 x^{2} - 6 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x y' + y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$9 x^{2} - 6 y^{2} y' = x y' + y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 6 y^{2} y' - x y' = y$

Schritt 5.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 y^{2} y' - x y' = y - 9 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 6 y^{2} y' - x y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 6 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 6 y^{2}) - x y' = y - 9 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- x y'$ heraus.

$y' (- 6 y^{2}) + y' (- x) = y - 9 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 6 y^{2}) + y' (- x)$ heraus.

$y' (- 6 y^{2} - x) = y - 9 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 6 y^{2} - x) = y - 9 x^{2}$ durch $- 6 y^{2} - x$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 6 y^{2} - x) = y - 9 x^{2}$ durch $- 6 y^{2} - x$ .

$\frac{y' (- 6 y^{2} - x)}{- 6 y^{2} - x} = \frac{y}{- 6 y^{2} - x} + \frac{- 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6 y^{2} - x$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 6 y^{2} - x)}{- 6 y^{2} - x} = \frac{y}{- 6 y^{2} - x} + \frac{- 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y}{- 6 y^{2} - x} + \frac{- 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- 6 y^{2} - x}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- (6 y^{2}) - x}$

Schritt 5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- (6 y^{2}) - (x)}$

Schritt 5.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (6 y^{2}) - (x)$ heraus.

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- (6 y^{2} + x)}$

Schritt 5.4.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.4.3.5.1

Schreibe $- (6 y^{2} + x)$ als $- 1 (6 y^{2} + x)$ um.

$y' = \frac{y - 9 x^{2}}{- 1 (6 y^{2} + x)}$

Schritt 5.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y - 9 x^{2}}{6 y^{2} + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 9 x^{2}}{6 y^{2} + x}$