Analysis Beispiele

$\int (\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{x} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 7

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 7.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} + C$