Analysis Beispiele

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 1.3

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - x$ ein.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5$ .

$u_{upper} = 1 - 0.5$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $0.5$ von $1$ .

$u_{upper} = 0.5$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

Schritt 2

Multipliziere $- (- u + 1) u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Schritt 3.3

Multipliziere $u$ mit $u^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{3}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Schritt 3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

Schritt 3.5

Schreibe $- 1 u^{3}$ als $- u^{3}$ um.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{1}{5} u^{5}$ bei $0.5$ und $1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{u^{4}}{4}$ bei $0.5$ und $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $0.5$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $0.03125$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.6

Subtrahiere $1$ von $0.03125$ .

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.8

Potenziere $0.5$ mit $4$ .

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 9.3.9

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 9.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

Schritt 9.3.11

Subtrahiere $1$ von $0.0625$ .

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

Schritt 9.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

Schritt 9.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

Schritt 9.3.14

Mutltipliziere $\frac{0.9375}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

Schritt 9.3.15

Um $- \frac{0.96875}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

Schritt 9.3.16

Um $\frac{0.9375}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 9.3.17

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 9.3.17.1

Mutltipliziere $\frac{0.96875}{5}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 9.3.17.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 9.3.17.3

Mutltipliziere $\frac{0.9375}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Schritt 9.3.17.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

Schritt 9.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Schritt 9.3.19

Mutltipliziere $- 0.96875$ mit $4$ .

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Schritt 9.3.20

Mutltipliziere $0.9375$ mit $5$ .

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

Schritt 9.3.21

Addiere $- 3.875$ und $4.6875$ .

$\frac{0.8125}{20}$

Schritt 10

Dividiere $0.8125$ durch $20$ .

$0.040625$

Schritt 11