Analysis Beispiele

$- 4 + x^{3} = x^{3} y - y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- 4 + x^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} y - y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 + x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} y - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - (3 y^{2} y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} - 3 y^{2} y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} = x^{3} y' + 3 x^{2} y - 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} y' + 3 x^{2} y - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$ um.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} y' - 3 y^{2} y' = 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y'$ aus $x^{3} y' - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $x^{3} y'$ heraus.

$y' x^{3} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (x^{3}) + y' (- 3 y^{2}) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (x^{3}) + y' (- 3 y^{2})$ heraus.

$y' (x^{3} - 3 y^{2}) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{3} - 3 y^{2}) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ durch $x^{3} - 3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x^{3} - 3 y^{2}) = 3 x^{2} - 3 x^{2} y$ durch $x^{3} - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (x^{3} - 3 y^{2})}{x^{3} - 3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 3 y^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3} - 3 y^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x^{3} - 3 y^{2})}{x^{3} - 3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 3 y^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 3 y^{2}} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 x^{2} - 3 x^{2} y}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.3.2.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2} - 3 x^{2} y$ heraus.

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2} (1) - 3 x^{2} y}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $- 3 x^{2} y$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2} (1) + 3 x^{2} (- 1 y)}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.2.1.3

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2} (1) + 3 x^{2} (- 1 y)$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2} (1 - 1 y)}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 5.4.3.2.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$y' = \frac{3 x^{2} (1 - y)}{x^{3} - 3 y^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} (1 - y)}{x^{3} - 3 y^{2}}$