Analysis Beispiele

$\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}]$ als $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{3} x^{2}}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \cdot x^{\frac{2}{3}})}]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{2}{3}})}]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{1 + \frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

Schritt 3.4

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}]$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ als ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{3}}]$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{3}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Schritt 10.2

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Schritt 12

Kombiniere $x^{- \frac{8}{3}}$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Schritt 13

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{6}$

Schritt 14.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{5 \cdot x^{- \frac{8}{3}}}{6}$

Schritt 14.3

Bringe $x^{- \frac{8}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{6 x^{\frac{8}{3}}}$