Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{3}} + 2$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}} + 2$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{3}} + 2$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{3}} + 2 d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 2 d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 2 d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 2 d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int x^{- 3} d x + \int 2 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 2 d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 2 x + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 2 x + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + 2 x + C$

Schritt 8.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{3}} + 2$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}} + 2 x + C$