Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5 = 3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2} + 8 \sum_{k = 1}^{9} i + \sum_{k = 1}^{9} - 5$

Schritt 2

Berechne $3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(3) (\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $9$ und $1$ .

$3 \frac{9 \cdot 10 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$3 \frac{90 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$3 \frac{90 (18 + 1)}{6}$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $18$ und $1$ .

$3 \frac{90 \cdot 19}{6}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $90$ mit $19$ .

$3 (\frac{1710}{6})$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \frac{1710}{3 (2)}$

Schritt 2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{1710}{3 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1710}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Dividiere $1710$ durch $2$ .

$855$

Schritt 3

Berechne $8 \sum_{k = 1}^{9} i$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(8) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $9$ und $1$ .

$8 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$8 (\frac{90}{2})$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 (4) \frac{90}{2}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 4 \frac{90}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 90$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $90$ .

$360$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{9} - 5$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 5) (9)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $9$ .

$- 45$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$855 + 360 - 45$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Addiere $855$ und $360$ .

$1215 - 45$

Schritt 6.2

Subtrahiere $45$ von $1215$ .

$1170$