Analysis Beispiele

$\int (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- x^{- 1} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 2} - - x^{- 1} + C$

Schritt 8.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $x^{- 1}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + x^{- 1} + C$