Analysis Beispiele

$y - 2 y^{2} = - x^{3} - y^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y - 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- x^{3} - y^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y' - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y' - 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y' - 2 (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y' - 4 y y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 4 y y' + y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} - y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$- 3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 y y' + y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $3 y^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 4 y y'$ heraus.

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 y) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2})$ heraus.

$y' (- 4 y + 1 + 3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.3.1.1

Stelle die Terme um.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 y$ heraus.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.1.2.2

Schreibe $- 4$ um als $- 1$ plus $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.3.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ durch $(3 y - 1) (y - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ durch $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$