Analysis Beispiele

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 2 + \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 2 + \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $2 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Schritt 4.1.4

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Schritt 7

Schreibe $- u^{- 1} + C$ als $- \frac{1}{u} + C$ um.

$- \frac{1}{u} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $2 + \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$