Analysis Beispiele

$- y^{3} + 5 - y^{2} + y = 2 x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} + 5 - y^{2} + y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- y^{3} + 5 - y^{2} + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + y'$

Schritt 2.6

Addiere $- 3 y^{2} y'$ und $0$ .

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$y' (- 3 y^{2} + (1 - 3) y + 1) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y' (- 3 y^{2} + 1 y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.1.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y' (- 3 y^{2} + y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y' ((- 3 y^{2} + y) - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y' (y (- 3 y + 1) + 1 (- 3 y + 1)) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 y + 1$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y + 1)) = 6 x^{2}$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ durch $(- 3 y + 1) (y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ durch $(- 3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y + 1)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (3 y - 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.3.4

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Schreibe $- (3 y - 1)$ als $- 1 (3 y - 1)$ um.

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y + 1)}$

Schritt 5.3.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$