Analysis Beispiele

$y = {(2 x + 3)}^{- 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 2 x + 3$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Schritt 2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \cdot 2$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 {(2 x + 3)}^{- 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(2 x + 3)}^{4}}$