Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Schritt 2

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.3

Schreibe $\cos^{6} (t)$ als ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Schritt 3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $\cos (t)$ aus $\cos^{3} (t)$ heraus.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Schritt 4

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ nach $\sec^{2} (t)$ um.

$\int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$