Analysis Beispiele

$\int 3 x {(2 x - 1)}^{2} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x {(2 x - 1)}^{2} d x$

Schritt 2

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{u}{2}$ mit $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

Schritt 4.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{4} d u$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$3 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Schritt 9

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} \int u^{2} d u)$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$3 (\frac{u^{4}}{16} + \frac{u^{3}}{12}) + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$3 (\frac{{(2 x - 1)}^{4}}{16} + \frac{{(2 x - 1)}^{3}}{12}) + C$

Schritt 13

Stelle die Terme um.

$3 (\frac{1}{16} {(2 x - 1)}^{4} + \frac{1}{12} {(2 x - 1)}^{3}) + C$