Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 2.8

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $\sqrt{1}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Schritt 6.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}$

Schritt 6.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Schritt 7

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.2

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1 - \sqrt{0^{2}}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1 - 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.1.8

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{0}}$

Schritt 8.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{1}{1 - \sqrt{0^{2}}}$

Schritt 8.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{1 - 0}$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Schritt 8.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{1}$

Schritt 8.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1$