Analysis Beispiele

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (2 x)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + 4 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 x + 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (2 x)$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- x$ aus $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- x (4 x^{2}) + 3 x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$- x (4 x^{2}) - x (- 3 x) + 4 x = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $- x$ aus $4 x$ heraus.

$- x (4 x^{2}) - x (- 3 x) - x \cdot - 4 = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $- x$ aus $- x (4 x^{2}) - x (- 3 x)$ heraus.

$- x (4 x^{2} - 3 x) - x \cdot - 4 = 0$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere $- x$ aus $- x (4 x^{2} - 3 x) - x (- 4)$ heraus.

$- x (4 x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $4 x^{2} - 3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $4 x^{2} - 3 x - 4$ gleich $0$ .

$4 x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Schritt 5.5.2

Löse $4 x^{2} - 3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 3$ und $c = - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.3.1.3

Addiere $9$ und $64$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{8}$

Schritt 5.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.4.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.4.1.3

Addiere $9$ und $64$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{8}$

Schritt 5.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$

Schritt 5.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ .

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Schritt 5.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 64}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.5.1.3

Addiere $9$ und $64$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{8}$

Schritt 5.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

Schritt 5.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (4 x^{2} - 3 x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 {(0)}^{2} + 6 (0) + 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 6 (0) + 4$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$0 + 6 (0) + 4$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 4$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 4$

Schritt 9.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - {(0)}^{4} + {(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - 0 + {(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} + 2 {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2 {(0)}^{2}$

Schritt 11.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2 \cdot 0$

Schritt 11.2.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 11.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 11.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ an.

$- 12 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- 12 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 13.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$4 (- 3) \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{16}$ .

$\frac{- 3 {(3 + \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.5

Schreibe ${(3 + \sqrt{73})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ um.

$\frac{- 3 ((3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.6

Multipliziere $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 13.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (3 (3 + \sqrt{73}) + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 13.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.7.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{73}$ .

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \cdot \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73 \cdot 73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7.1.4

Mutltipliziere $73$ mit $73$ .

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{5329})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7.1.5

Schreibe $5329$ als $73^{2}$ um.

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73^{2}})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- 3 (9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + 73)}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7.2

Addiere $9$ und $73$ .

$\frac{- 3 (82 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.7.3

Addiere $3 \sqrt{73}$ und $3 \sqrt{73}$ .

$\frac{- 3 (82 + 6 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $82 + 6 \sqrt{73}$ und $16$ .

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Schritt 13.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 3 (82 + 6 \sqrt{73})$ heraus.

$\frac{2 (- 3 (41 + 3 \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 (- 3 (41 + 3 \sqrt{73}))}{2 (8)} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 (41 + 3 \sqrt{73}))}{2 \cdot 8} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 13.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 2 (3) \frac{3 + \sqrt{73}}{8} + 4$

Schritt 13.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 + \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

Schritt 13.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 + \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

Schritt 13.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + 3 \frac{3 + \sqrt{73}}{4} + 4$

Schritt 13.1.11

Kombiniere $3$ und $\frac{3 + \sqrt{73}}{4}$ .

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4} + 4$

Schritt 13.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4} \cdot \frac{2}{2} + 4$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 (3 + \sqrt{73})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 4$

Schritt 13.2.3

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Schritt 13.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 13.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{3 (41 + 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 (41 + 3 \sqrt{73}) + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 \cdot 41 - 3 (3 \sqrt{73}) + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $41$ .

$\frac{- 123 - 3 (3 \sqrt{73}) + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 3 (3 + \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + (9 + 3 \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 9 \cdot 2 + 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.7

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 18 + 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.8

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 18 + 6 \sqrt{73} + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 13.4.9

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{- 123 - 9 \sqrt{73} + 18 + 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

Schritt 13.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.5.1

Addiere $- 123$ und $18$ .

$\frac{- 105 - 9 \sqrt{73} + 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

Schritt 13.5.2

Addiere $- 105$ und $32$ .

$\frac{- 73 - 9 \sqrt{73} + 6 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 13.5.3

Addiere $- 9 \sqrt{73}$ und $6 \sqrt{73}$ .

$\frac{- 73 - 3 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 13.5.4

Schreibe $- 73$ als $- 1 (73)$ um.

$\frac{- 1 (73) - 3 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 13.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \sqrt{73}$ heraus.

$\frac{- 1 (73) - (3 \sqrt{73})}{8}$

Schritt 13.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (73) - (3 \sqrt{73})$ heraus.

$\frac{- 1 (73 + 3 \sqrt{73})}{8}$

Schritt 13.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{73 + 3 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 14

$x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{4} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{4}}{8^{4}} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.4.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (27 \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (9 {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.5

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 {\sqrt{73}}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{73}}^{2}$ als $73$ um.

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Schritt 15.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 15.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73 + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73 + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.7

Mutltipliziere $54$ mit $73$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 4 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{3}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.8

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 {\sqrt{73}}^{3} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.9

Schreibe ${\sqrt{73}}^{3}$ als $\sqrt{73^{3}}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{73^{3}} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.10

Potenziere $73$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{389017} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.11

Schreibe $389017$ als $73^{2} \cdot 73$ um.

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Schritt 15.2.1.4.11.1

Faktorisiere $5329$ aus $389017$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{5329 (73)} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.11.2

Schreibe $5329$ als $73^{2}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 \sqrt{73^{2} \cdot 73} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (73 \sqrt{73}) + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.13

Mutltipliziere $73$ mit $12$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14

Schreibe ${\sqrt{73}}^{4}$ als $73^{2}$ um.

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Schritt 15.2.1.4.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{4}{2}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 15.2.1.4.14.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.4.14.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{1}}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.14.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 73^{2}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.4.15

Potenziere $73$ mit $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 \sqrt{73} + 3942 + 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.5

Addiere $81$ und $3942$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{4023 + 108 \sqrt{73} + 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.6

Addiere $4023$ und $5329$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 + 108 \sqrt{73} + 876 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.7

Addiere $108 \sqrt{73}$ und $876 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 + 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9352 + 984 \sqrt{73}$ und $4096$ .

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Schritt 15.2.1.8.1

Faktorisiere $8$ aus $9352$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) + 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.8.2

Faktorisiere $8$ aus $984 \sqrt{73}$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) + 8 (123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.8.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (1169) + 8 (123 \sqrt{73})$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 + 123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.8.4.1

Faktorisiere $8$ aus $4096$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 + 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 + 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{3}}{8^{3}} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.10

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.11

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.12.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.1.12.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 15.2.1.12.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{1 + 2} \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{3} \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {\sqrt{73}}^{2}) + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 {\sqrt{73}}^{2} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.5

Schreibe ${\sqrt{73}}^{2}$ als $73$ um.

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Schritt 15.2.1.12.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.12.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.6

Mutltipliziere $9$ mit $73$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.7

Schreibe ${\sqrt{73}}^{3}$ als $\sqrt{73^{3}}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{73^{3}}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.8

Potenziere $73$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{389017}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.9

Schreibe $389017$ als $73^{2} \cdot 73$ um.

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Schritt 15.2.1.12.9.1

Faktorisiere $5329$ aus $389017$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{5329 (73)}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.9.2

Schreibe $5329$ als $73^{2}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + \sqrt{73^{2} \cdot 73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.12.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 \sqrt{73} + 657 + 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.13

Addiere $27$ und $657$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 + 27 \sqrt{73} + 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.14

Addiere $27 \sqrt{73}$ und $73 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 + 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $684 + 100 \sqrt{73}$ und $512$ .

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Schritt 15.2.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $684$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) + 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.15.2

Faktorisiere $4$ aus $100 \sqrt{73}$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) + 4 (25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.15.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (171) + 4 (25 \sqrt{73})$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 + 25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.15.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.15.4.1

Faktorisiere $4$ aus $512$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 + 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 + 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 {(\frac{3 + \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 15.2.1.16

Wende die Produktregel auf $\frac{3 + \sqrt{73}}{8}$ an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}})$

Schritt 15.2.1.17

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{64})$

Schritt 15.2.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.18.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{2 (32)})$

Schritt 15.2.1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{2 \cdot 32})$

Schritt 15.2.1.18.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{{(3 + \sqrt{73})}^{2}}{32}$

Schritt 15.2.1.19

Schreibe ${(3 + \sqrt{73})}^{2}$ als $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})}{32}$

Schritt 15.2.1.20

Multipliziere $(3 + \sqrt{73}) (3 + \sqrt{73})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 15.2.1.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 (3 + \sqrt{73}) + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73})}{32}$

Schritt 15.2.1.20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} (3 + \sqrt{73})}{32}$

Schritt 15.2.1.20.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

Schritt 15.2.1.21

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 15.2.1.21.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.21.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \cdot 3 + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

Schritt 15.2.1.21.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \cdot \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

Schritt 15.2.1.21.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73 \cdot 73}}{32}$

Schritt 15.2.1.21.1.4

Mutltipliziere $73$ mit $73$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{5329}}{32}$

Schritt 15.2.1.21.1.5

Schreibe $5329$ als $73^{2}$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + \sqrt{73^{2}}}{32}$

Schritt 15.2.1.21.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73} + 73}{32}$

Schritt 15.2.1.21.2

Addiere $9$ und $73$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 + 3 \sqrt{73} + 3 \sqrt{73}}{32}$

Schritt 15.2.1.21.3

Addiere $3 \sqrt{73}$ und $3 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 + 6 \sqrt{73}}{32}$

Schritt 15.2.1.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $82 + 6 \sqrt{73}$ und $32$ .

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Schritt 15.2.1.22.1

Faktorisiere $2$ aus $82$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) + 6 \sqrt{73}}{32}$

Schritt 15.2.1.22.2

Faktorisiere $2$ aus $6 \sqrt{73}$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) + 2 (3 \sqrt{73})}{32}$

Schritt 15.2.1.22.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (41) + 2 (3 \sqrt{73})$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 + 3 \sqrt{73})}{32}$

Schritt 15.2.1.22.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.2.1.22.4.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 + 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

Schritt 15.2.1.22.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 + 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

Schritt 15.2.1.22.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$

Schritt 15.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 15.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128} \cdot \frac{4}{4} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$

Schritt 15.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{171 + 25 \sqrt{73}}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$

Schritt 15.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16} \cdot \frac{32}{32}$

Schritt 15.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{41 + 3 \sqrt{73}}{16}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

Schritt 15.2.2.5

Stelle die Faktoren von $128 \cdot 4$ um.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

Schritt 15.2.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $128$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

Schritt 15.2.2.7

Mutltipliziere $16$ mit $32$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 + 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- (1169 + 123 \sqrt{73}) + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1169 - (123 \sqrt{73}) + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1169$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - (123 \sqrt{73}) + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.3

Mutltipliziere $123$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + (171 + 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 171 \cdot 4 + 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.5

Mutltipliziere $171$ mit $4$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + (41 + 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + 41 \cdot 32 + 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.8

Mutltipliziere $41$ mit $32$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + 1312 + 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

Schritt 15.2.4.9

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - 123 \sqrt{73} + 684 + 100 \sqrt{73} + 1312 + 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 15.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 15.2.5.1

Addiere $- 1169$ und $684$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 485 - 123 \sqrt{73} + 100 \sqrt{73} + 1312 + 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 15.2.5.2

Addiere $- 485$ und $1312$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 - 123 \sqrt{73} + 100 \sqrt{73} + 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 15.2.5.3

Addiere $- 123 \sqrt{73}$ und $100 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 - 23 \sqrt{73} + 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 15.2.5.4

Addiere $- 23 \sqrt{73}$ und $96 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 + \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 15.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512}$ .

$y = \frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ an.

$- 12 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- 12 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 17.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$4 (- 3) \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{64} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot - 3 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{16}$ .

$\frac{- 3 {(3 - \sqrt{73})}^{2}}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.5

Schreibe ${(3 - \sqrt{73})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ um.

$\frac{- 3 ((3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.6

Multipliziere $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 17.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (3 (3 - \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 17.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.7.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 3 (9 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} (- \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.4

Multipliziere $- \sqrt{73} (- \sqrt{73})$ .

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Schritt 17.1.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 1 \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.4.3

Potenziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.4.4

Potenziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1 + 1})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{2})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.5

Schreibe ${\sqrt{73}}^{2}$ als $73$ um.

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Schritt 17.1.7.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.1.7.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{1})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 3 (9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73)}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.2

Addiere $9$ und $73$ .

$\frac{- 3 (82 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.7.3

Subtrahiere $3 \sqrt{73}$ von $- 3 \sqrt{73}$ .

$\frac{- 3 (82 - 6 \sqrt{73})}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $82 - 6 \sqrt{73}$ und $16$ .

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Schritt 17.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 3 (82 - 6 \sqrt{73})$ heraus.

$\frac{2 (- 3 (41 - 3 \sqrt{73}))}{16} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 (- 3 (41 - 3 \sqrt{73}))}{2 (8)} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 (41 - 3 \sqrt{73}))}{2 \cdot 8} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 6 (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) + 4$

Schritt 17.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 2 (3) \frac{3 - \sqrt{73}}{8} + 4$

Schritt 17.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 - \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

Schritt 17.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{3 - \sqrt{73}}{2 \cdot 4} + 4$

Schritt 17.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + 3 \frac{3 - \sqrt{73}}{4} + 4$

Schritt 17.1.11

Kombiniere $3$ und $\frac{3 - \sqrt{73}}{4}$ .

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4} + 4$

Schritt 17.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 17.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4} \cdot \frac{2}{2} + 4$

Schritt 17.2.2

Mutltipliziere $\frac{3 (3 - \sqrt{73})}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + 4$

Schritt 17.2.3

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Schritt 17.2.4

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Schritt 17.2.5

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.2.6

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{3 (41 - 3 \sqrt{73})}{8} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2}{8} + \frac{4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 (41 - 3 \sqrt{73}) + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 \cdot 41 - 3 (- 3 \sqrt{73}) + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $41$ .

$\frac{- 123 - 3 (- 3 \sqrt{73}) + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 3 (3 - \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73})) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + (9 + 3 (- \sqrt{73})) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + (9 - 3 \sqrt{73}) \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 9 \cdot 2 - 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.8

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 18 - 3 \sqrt{73} \cdot 2 + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 18 - 6 \sqrt{73} + 4 \cdot 8}{8}$

Schritt 17.4.10

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{- 123 + 9 \sqrt{73} + 18 - 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

Schritt 17.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 17.5.1

Addiere $- 123$ und $18$ .

$\frac{- 105 + 9 \sqrt{73} - 6 \sqrt{73} + 32}{8}$

Schritt 17.5.2

Addiere $- 105$ und $32$ .

$\frac{- 73 + 9 \sqrt{73} - 6 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 17.5.3

Subtrahiere $6 \sqrt{73}$ von $9 \sqrt{73}$ .

$\frac{- 73 + 3 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 17.5.4

Schreibe $- 73$ als $- 1 (73)$ um.

$\frac{- 1 (73) + 3 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 17.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $3 \sqrt{73}$ heraus.

$\frac{- 1 (73) - (- 3 \sqrt{73})}{8}$

Schritt 17.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (73) - (- 3 \sqrt{73})$ heraus.

$\frac{- 1 (73 - 3 \sqrt{73})}{8}$

Schritt 17.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{73 - 3 \sqrt{73}}{8}$

Schritt 18

$x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ .

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Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{4} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{4}}{8^{4}} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.2

Potenziere $8$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{73})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.4.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{73})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 4 \cdot (27 (- \sqrt{73})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 + 108 (- \sqrt{73}) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $108$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 6 \cdot (9 {(- \sqrt{73})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.6

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 {(- \sqrt{73})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.7

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{73}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 (1 {\sqrt{73}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.9

Mutltipliziere ${\sqrt{73}}^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 {\sqrt{73}}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.10

Schreibe ${\sqrt{73}}^{2}$ als $73$ um.

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Schritt 19.2.1.4.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.1.4.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 19.2.1.4.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 54 \cdot 73 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.10.5

Berechne den Exponenten.

Schritt 19.2.1.4.11

Mutltipliziere $54$ mit $73$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 {(- \sqrt{73})}^{3} + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.13

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{73}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{73}}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- {\sqrt{73}}^{3}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.15

Schreibe ${\sqrt{73}}^{3}$ als $\sqrt{73^{3}}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{73^{3}}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.16

Potenziere $73$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{389017}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.17

Schreibe $389017$ als $73^{2} \cdot 73$ um.

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Schritt 19.2.1.4.17.1

Faktorisiere $5329$ aus $389017$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{5329 (73)}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.17.2

Schreibe $5329$ als $73^{2}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- \sqrt{73^{2} \cdot 73}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- (73 \sqrt{73})) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.19

Mutltipliziere $73$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 + 12 (- 73 \sqrt{73}) + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.20

Mutltipliziere $- 73$ mit $12$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {(- \sqrt{73})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.21

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{73}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.22

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 1 {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.23

Mutltipliziere ${\sqrt{73}}^{4}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24

Schreibe ${\sqrt{73}}^{4}$ als $73^{2}$ um.

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Schritt 19.2.1.4.24.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{4}{2}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 19.2.1.4.24.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.4.24.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{1}}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.24.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 73^{2}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.4.25

Potenziere $73$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{81 - 108 \sqrt{73} + 3942 - 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.5

Addiere $81$ und $3942$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{4023 - 108 \sqrt{73} - 876 \sqrt{73} + 5329}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.6

Addiere $4023$ und $5329$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 - 108 \sqrt{73} - 876 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.7

Subtrahiere $876 \sqrt{73}$ von $- 108 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{9352 - 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9352 - 984 \sqrt{73}$ und $4096$ .

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Schritt 19.2.1.8.1

Faktorisiere $8$ aus $9352$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) - 984 \sqrt{73}}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.8.2

Faktorisiere $8$ aus $- 984 \sqrt{73}$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169) + 8 (- 123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.8.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (1169) + 8 (- 123 \sqrt{73})$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 - 123 \sqrt{73})}{4096} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.8.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.2.1.8.4.1

Faktorisiere $8$ aus $4096$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 - 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.8.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{8 (1169 - 123 \sqrt{73})}{8 \cdot 512} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.8.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{3} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{3}}{8^{3}} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.10

Potenziere $8$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.11

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{73})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.12.1

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{73})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 19.2.1.12.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 19.2.1.12.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

Schritt 19.2.1.12.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 3^{3} (- \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 + 27 (- \sqrt{73}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{73})}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 {(- \sqrt{73})}^{2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{73}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{73}}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 (1 {\sqrt{73}}^{2}) + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.8

Mutltipliziere ${\sqrt{73}}^{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 {\sqrt{73}}^{2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.9

Schreibe ${\sqrt{73}}^{2}$ als $73$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.12.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.2.1.12.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.9.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 9 \cdot 73 + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.10

Mutltipliziere $9$ mit $73$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 + {(- \sqrt{73})}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{73}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - {\sqrt{73}}^{3}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.13

Schreibe ${\sqrt{73}}^{3}$ als $\sqrt{73^{3}}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{73^{3}}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.14

Potenziere $73$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{389017}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.15

Schreibe $389017$ als $73^{2} \cdot 73$ um.

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Schritt 19.2.1.12.15.1

Faktorisiere $5329$ aus $389017$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{5329 (73)}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.15.2

Schreibe $5329$ als $73^{2}$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - \sqrt{73^{2} \cdot 73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - (73 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.12.17

Mutltipliziere $73$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{27 - 27 \sqrt{73} + 657 - 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.13

Addiere $27$ und $657$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 - 27 \sqrt{73} - 73 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.14

Subtrahiere $73 \sqrt{73}$ von $- 27 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{684 - 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $684 - 100 \sqrt{73}$ und $512$ .

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Schritt 19.2.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $684$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) - 100 \sqrt{73}}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.15.2

Faktorisiere $4$ aus $- 100 \sqrt{73}$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171) + 4 (- 25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.15.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (171) + 4 (- 25 \sqrt{73})$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 - 25 \sqrt{73})}{512} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.15.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.2.1.15.4.1

Faktorisiere $4$ aus $512$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 - 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.15.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{4 (171 - 25 \sqrt{73})}{4 \cdot 128} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.15.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 {(\frac{3 - \sqrt{73}}{8})}^{2}$

Schritt 19.2.1.16

Wende die Produktregel auf $\frac{3 - \sqrt{73}}{8}$ an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{8^{2}})$

Schritt 19.2.1.17

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{64})$

Schritt 19.2.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.1.18.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{2 (32)})$

Schritt 19.2.1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + 2 (\frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{2 \cdot 32})$

Schritt 19.2.1.18.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{{(3 - \sqrt{73})}^{2}}{32}$

Schritt 19.2.1.19

Schreibe ${(3 - \sqrt{73})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.20

Multipliziere $(3 - \sqrt{73}) (3 - \sqrt{73})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 19.2.1.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 (3 - \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} (3 - \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.20.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.21

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 19.2.1.21.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.21.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 + 3 (- \sqrt{73}) - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} \cdot 3 - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} - \sqrt{73} (- \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.4

Multipliziere $- \sqrt{73} (- \sqrt{73})$ .

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Schritt 19.2.1.21.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 1 \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.4.3

Potenziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.4.4

Potenziere $\sqrt{73}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + \sqrt{73} \sqrt{73}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{1 + 1}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {\sqrt{73}}^{2}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.5

Schreibe ${\sqrt{73}}^{2}$ als $73$ um.

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Schritt 19.2.1.21.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{73}$ als $73^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.1.21.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73^{\frac{2}{2}}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73}{32}$

Schritt 19.2.1.21.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{9 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73} + 73}{32}$

Schritt 19.2.1.21.2

Addiere $9$ und $73$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 - 3 \sqrt{73} - 3 \sqrt{73}}{32}$

Schritt 19.2.1.21.3

Subtrahiere $3 \sqrt{73}$ von $- 3 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{82 - 6 \sqrt{73}}{32}$

Schritt 19.2.1.22

Kürze den gemeinsamen Teiler von $82 - 6 \sqrt{73}$ und $32$ .

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Schritt 19.2.1.22.1

Faktorisiere $2$ aus $82$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) - 6 \sqrt{73}}{32}$

Schritt 19.2.1.22.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6 \sqrt{73}$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41) + 2 (- 3 \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.22.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (41) + 2 (- 3 \sqrt{73})$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 - 3 \sqrt{73})}{32}$

Schritt 19.2.1.22.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 19.2.1.22.4.1

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 - 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.1.22.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{2 (41 - 3 \sqrt{73})}{2 \cdot 16}$

Schritt 19.2.1.22.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$

Schritt 19.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 19.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128} \cdot \frac{4}{4} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$

Schritt 19.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{171 - 25 \sqrt{73}}{128}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$

Schritt 19.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16} \cdot \frac{32}{32}$

Schritt 19.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{41 - 3 \sqrt{73}}{16}$ mit $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{128 \cdot 4} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

Schritt 19.2.2.5

Stelle die Faktoren von $128 \cdot 4$ um.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{4 \cdot 128} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

Schritt 19.2.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $128$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{16 \cdot 32}$

Schritt 19.2.2.7

Mutltipliziere $16$ mit $32$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = - \frac{1169 - 123 \sqrt{73}}{512} + \frac{(171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4}{512} + \frac{(41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- (1169 - 123 \sqrt{73}) + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 1169 - (- 123 \sqrt{73}) + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1169$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 - (- 123 \sqrt{73}) + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.3

Mutltipliziere $- 123$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + (171 - 25 \sqrt{73}) \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 171 \cdot 4 - 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.5

Mutltipliziere $171$ mit $4$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 25 \sqrt{73} \cdot 4 + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + (41 - 3 \sqrt{73}) \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + 41 \cdot 32 - 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.8

Mutltipliziere $41$ mit $32$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + 1312 - 3 \sqrt{73} \cdot 32}{512}$

Schritt 19.2.4.9

Mutltipliziere $32$ mit $- 3$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 1169 + 123 \sqrt{73} + 684 - 100 \sqrt{73} + 1312 - 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 19.2.5

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 19.2.5.1

Addiere $- 1169$ und $684$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{- 485 + 123 \sqrt{73} - 100 \sqrt{73} + 1312 - 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 19.2.5.2

Addiere $- 485$ und $1312$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 + 123 \sqrt{73} - 100 \sqrt{73} - 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 19.2.5.3

Subtrahiere $100 \sqrt{73}$ von $123 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 + 23 \sqrt{73} - 96 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 19.2.5.4

Subtrahiere $96 \sqrt{73}$ von $23 \sqrt{73}$ .

$f (\frac{3 - \sqrt{73}}{8}) = \frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 19.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512}$ .

$y = \frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512}$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = - x^{4} + x^{3} + 2 x^{2}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 + \sqrt{73}}{8}, \frac{827 + 73 \sqrt{73}}{512})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{3 - \sqrt{73}}{8}, \frac{827 - 73 \sqrt{73}}{512})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 21