Analysis Beispiele

$y^{x y}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe $y^{x y}$ als $e^{\ln (y^{x y})}$ um.

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (y^{x y})$ durch Herausziehen von $x y$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y \ln (y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Schritt 3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y \ln (y)$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 5

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\ln (y)$ mit $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$