Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 2} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{2}{x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{x + 6}{x^{2} - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) (x^{2} - 4)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x - 2}$ mit $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x + 6}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{x + 6}{x^{2} - 4}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{(x + 6) (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} - 4) (x - 2)$ um.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{(x + 6) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 (x^{2} - 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - 4 - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{2 (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - lim_{x \to 2} (x + 6) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - lim_{x \to 2} x + 6 \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 6) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.8

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 (2^{2} - 1 \cdot 4) - (lim_{x \to 2} x + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 (2^{2} - 1 \cdot 4) - (2 + 6) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 (2^{2} - 1 \cdot 4) - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.12.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.12.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 (4 - 1 \cdot 4) - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{2 (4 - 4) - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{2 \cdot 0 - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0 - (2 + 6) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.4

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 8 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{0 - 8 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0 - 8 \cdot (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.7

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0 - 8 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.1.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.2.12.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 2.1.3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 2.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Schritt 2.1.3.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4)}$

Schritt 2.1.3.5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4)}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Schritt 2.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Schritt 2.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Schritt 2.1.3.8.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.8.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Schritt 2.1.3.8.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Schritt 2.1.3.8.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.8.5

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8.6

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 (x^{2} - 4) - (x + 6) (x - 2)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)] + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)] + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 4)]$ .

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Schritt 2.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 (x^{2} - 4)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.3.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- (x + 6) (x - 2)]$ .

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Schritt 2.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x + 6) (x - 2)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [(x + 6) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - \frac{d}{d x} [(x + 6) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 6$ und $g (x) = x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x + 6])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [6]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.8

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) (1 + 0) + (x - 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - ((x + 6) \cdot 1 + (x - 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.10

Mutltipliziere $x + 6$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (x + 6 + (x - 2) (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (x + 6 + (x - 2) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.12

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (x + 6 + x - 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.13

Addiere $x$ und $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (2 x + 6 - 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.4.14

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (2 x + 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - (2 x) - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 2 x - 1 \cdot 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.5.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 2.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 2.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 2.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 2.3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 2.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Schritt 2.3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Schritt 2.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Schritt 2.3.14

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Schritt 2.3.15

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $x^{2} - 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17

Vereinfache.

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Schritt 2.3.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.17.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

Schritt 2.3.17.3.6

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.2.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.2.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 3.1.3.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 3.1.3.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 3.1.3.4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Schritt 3.1.3.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.3.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.7.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3.7.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

Schritt 3.1.3.7.2

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 3.1.3.7.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.7.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.3.8

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x - 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3.5

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Schritt 3.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 4 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 3.3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 3.3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 3.3.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 3.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 3.3.8.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 3.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 3.3.8.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 3.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4 + 0}$

Schritt 3.3.10

Addiere $6 x - 4$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2}{6 x - 4}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6 x - 4$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{6 x - 4}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x) - 4}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 2}$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (- 2)$ heraus.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (1)}{2 (3 x - 2)}$

Schritt 3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x - 2)}$

Schritt 3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{3 x - 2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 2} 3 x - 2}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 4.4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{1}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{6 - 1 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{6 - 2}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $2$ von $6$ .

$\frac{1}{4}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{4}$

Dezimalform:

$0.25$