Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.1.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(2 x)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 2 x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{{(2 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{{(2 \cdot 0)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^{2} (2 x)}{{(2 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos^{2} (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (2 x)]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (2 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (2 x)]}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 1.3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- \sin (2 x) \cdot 2))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (2 x) (- 2 \sin (2 x)))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 4 \cos (2 x) \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.4.9

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $0$ und $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{2}]}$

Schritt 1.3.6

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [2^{2} x^{2}]}$

Schritt 1.3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}$

Schritt 1.3.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{4 (2 x)}$

Schritt 1.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (2 x) \sin (2 x)}{8 x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cos (2 x) \sin (2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{8 x}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (2 x) \sin (2 x))}{4 (2 x)}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{2 x}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7.3

Mutltipliziere $\sin (2 \cdot 0)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7.4

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.2.7.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \sin (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (2 x)$ und $g (x) = \sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.4

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.5

Potenziere $\cos (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.12

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.12.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.12.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.12.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.13

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.14

Potenziere $\sin (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.17

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.20

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3.21

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}{1}$

Schritt 3.4

Dividiere $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Schritt 4.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Schritt 4.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} (2 {(lim_{x \to 0} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Schritt 4.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Schritt 4.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sin^{2} (2 x))$

Schritt 4.6

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sin^{2} (2 x))$

Schritt 4.7

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sin^{2} (2 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sin (2 x))}^{2})$

Schritt 4.8

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Schritt 4.9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 lim_{x \to 0} x) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (2 \cdot 0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cos^{2} (0) - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1^{2} - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Schritt 6.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (2 \cdot 0))$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \sin^{2} (0))$

Schritt 6.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0^{2})$

Schritt 6.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (2 - 2 \cdot 0)$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$\frac{1}{2} (2 + 0)$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1$