Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 4} 4 (x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \tan (π x)$

Schritt 1

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - 4} (x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16) \tan (π x)$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$4 lim_{x \to - 4} x^{3} - 8 x^{2} + 20 x - 16 \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 4$ annähert.

$4 (lim_{x \to - 4} x^{3} - lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - lim_{x \to - 4} 8 x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Schritt 5

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} 20 x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Schritt 7

Ziehe den Term $20$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 4$ annähert.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot lim_{x \to - 4} \tan (π x)$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (lim_{x \to - 4} π x)$

Schritt 10

Ziehe den Term $π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 ({(lim_{x \to - 4} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 4$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π lim_{x \to - 4} x)$

Schritt 11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 4$ für $x$ .

$4 ({(- 4)}^{3} - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$4 (- 64 - 8 {(- 4)}^{2} + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$4 (- 64 - 8 \cdot 16 + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $16$ .

$4 (- 64 - 128 + 20 \cdot - 4 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $- 4$ .

$4 (- 64 - 128 - 80 - 1 \cdot 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$4 (- 64 - 128 - 80 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.2

Subtrahiere $128$ von $- 64$ .

$4 (- 192 - 80 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.3

Subtrahiere $80$ von $- 192$ .

$4 (- 272 - 16) \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.4

Subtrahiere $16$ von $- 272$ .

$4 \cdot - 288 \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 288$ .

$- 1152 \cdot \tan (π \cdot - 4)$

Schritt 12.6

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $π$ .

$- 1152 \cdot \tan (- 4 \cdot π)$

Schritt 12.7

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 1152 \cdot \tan (0)$

Schritt 12.8

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- 1152 \cdot 0$

Schritt 12.9

Mutltipliziere $- 1152$ mit $0$ .

$0$