Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} (\frac{x}{2} - \frac{2}{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{2}{x} d x$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2}$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Schritt 9.1.2

Berechne $\ln (| x |)$ bei $2$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2} \cdot 1) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (2 - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.6

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.3.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 - 1}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.9.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.10

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Schritt 9.1.3.12

Um $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 9.1.3.13

Kombiniere $- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} + \frac{- 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Schritt 9.1.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 4}{4}$

Schritt 9.1.3.15

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{3 - 8 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{4}$

Schritt 9.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{4}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{4}$

Schritt 9.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (\frac{2}{1})}{4}$

Schritt 9.3.3

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3 - 8 \ln (2)}{4}$

Dezimalform:

$- 0.63629436 \dots$

Schritt 11