Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{lower} = 0 - 2$

Schritt 1.3

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 2$ ein.

$u_{upper} = 4 - 2$

Schritt 1.5

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 2}^{2} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int_{- 2}^{2} u^{- 2} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{- 2}^{2}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $2$ und $- 2$ .

$(- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1}$

Schritt 4.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}$

Schritt 4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $- \frac{1}{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2}$

Schritt 4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Schritt 4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Schritt 4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.2.6.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 5