Analysis Beispiele

$\ln (\sqrt{1 + x^{2}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x^{2}}$ als ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 10

Bringe ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 12

Multipliziere ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1

Bewege ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 12.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 13

Vereinfache $2 {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Schritt 14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 15

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 16

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (1 + x^{2})} (2 x)$

Schritt 18

Vereinfache Terme.

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Schritt 18.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 (1 + x^{2})}$ .

$\frac{2}{2 (1 + x^{2})} x$

Schritt 18.2

Kombiniere $\frac{2}{2 (1 + x^{2})}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

Schritt 18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 (1 + x^{2})}$

Schritt 18.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{1 + x^{2}}$

Schritt 18.4

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{x^{2} + 1}$