Analysis Beispiele

$3 x y + 3 y + 5 = - 3 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x y + 3 y + 5) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x y + 3 y + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 (x y' + y) + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 (x y' + y) + 3 y' + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x y' + y) + 3 y' + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x y') + 3 y + 3 y' + 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $3 x y' + 3 y + 3 y'$ und $0$ .

$3 x y' + 3 y + 3 y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$- 3$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x y' + 3 y + 3 y' = - 3$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x y' + 3 y' = - 3 - 3 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x y' + 3 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 x y'$ heraus.

$3 y' x + 3 y' = - 3 - 3 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y'$ heraus.

$3 y' x + 3 y' \cdot 1 = - 3 - 3 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $3 y'$ aus $3 y' x + 3 y' \cdot 1$ heraus.

$3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ durch $3 (x + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ durch $3 (x + 1)$ .

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 1 - y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = \frac{- 1 (1) - y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1) - (y)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (1 + y)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1 + y}{x + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y}{x + 1}$