Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{3} [2 y - (y^{2} - 3)] d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 1}^{3} 2 y - (y^{2} - 3) d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 1}^{3} 2 y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{- 1}^{3} y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Schritt 6

Multipliziere $- (y^{2} - 3)$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} - - 3 d y$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} + 3 d y$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - \int_{- 1}^{3} y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Schritt 11

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\frac{y^{2}}{2}$ bei $3$ und $- 1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Schritt 13.2

Berechne $\frac{y^{3}}{3}$ bei $3$ und $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Schritt 13.3

Berechne $3 y$ bei $3$ und $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4

Vereinfache.

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Schritt 13.4.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{9 - 1}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 13.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{4}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.5.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$2 \cdot 4 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$8 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 13.4.8.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.8.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$8 - (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.9

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 - (9 - \frac{- 1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 - (9 - - \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 - (9 + 1 (\frac{1}{3})) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$8 - (9 + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.13

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.14

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$8 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 - \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.16.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$8 - \frac{27 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.16.2

Addiere $27$ und $1$ .

$8 - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.17

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.18

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 3 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.20

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.20.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{24 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.20.2

Subtrahiere $28$ von $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.22

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Schritt 13.4.23

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Schritt 13.4.24

Addiere $9$ und $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Schritt 13.4.25

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 13.4.26

Kombiniere $12$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Schritt 13.4.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Schritt 13.4.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.4.28.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Schritt 13.4.28.2

Addiere $- 4$ und $36$ .

$\frac{32}{3}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{32}{3}$

Dezimalform:

$10.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$10 \frac{2}{3}$

Schritt 15