Analysis Beispiele

$lim_{x \to a} {(2 x - 1)}^{5}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Exponenten $5$ von ${(2 x - 1)}^{5}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

${(lim_{x \to a} 2 x - 1)}^{5}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $a$ annähert.

${(lim_{x \to a} 2 x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

Schritt 1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

${(2 lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $a$ annähert.

${(2 lim_{x \to a} x - 1 \cdot 1)}^{5}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $a$ für $x$ .

${(2 a - 1 \cdot 1)}^{5}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(2 a - 1)}^{5}$

Schritt 3.2

Wende den binomischen Lehrsatz an.

${(2 a)}^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$2^{5} a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $2$ mit $5$ .

$32 a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.3

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$32 a^{5} + 5 (2^{4} a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$32 a^{5} + 5 (16 a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $16$ mit $5$ .

$32 a^{5} + 80 a^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $80$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.7

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (2^{3} a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (8 a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $8$ mit $10$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} \cdot 1 + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.11

Mutltipliziere $80$ mit $1$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.12

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (2^{2} a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (4 a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.14

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} \cdot - 1 + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $40$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.18

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a \cdot 1 + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.19

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a + {(- 1)}^{5}$

Schritt 3.3.20

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a - 1$