Analysis Beispiele

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

Schritt 4

Faktorisiere $\cos^{2} (x)$ aus.

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Schritt 5

Schreibe $\cos^{2} (x)$ in $1 - \sin^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Schritt 6

Mutltipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Schritt 7

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Schritt 8

Multipliziere $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

Schritt 9.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.2.1

Bewege $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

Schritt 9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

Schritt 9.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

Schritt 9.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

Schritt 9.4

Schreibe $- 1 u^{4}$ als $- u^{4}$ um.

$\int u^{2} - u^{4} d u$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 14

Vereinfache.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$