Analysis Beispiele

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 1 + a t$ und $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ .

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 2}$ und $g (t) = c t$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $c t$ .

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $c$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $c t$ nach $t$ gleich $c \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + a t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

Schritt 3.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

Schritt 3.6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

Schritt 3.7

Da $a$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $a t$ nach $t$ gleich $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

Schritt 3.9

Mutltipliziere ${(c t)}^{- 2}$ mit $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $c t$ an.

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $c t$ an.

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Potenziere $c$ mit $1$ .

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.3

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.5

Potenziere $c$ mit $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.7

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.8

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.10

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Schritt 4.4.11

Addiere $a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ und $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

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Schritt 4.4.11.1

Stelle $a$ und $- 2$ um.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

Schritt 4.4.11.2

Addiere $- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ und $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{c^{2}}$ .

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Schritt 4.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Schritt 4.5.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Schritt 4.5.5

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{3}}$ mit $\frac{2}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Schritt 4.5.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

Schritt 4.5.7

Kombiniere $\frac{1}{c^{2}}$ und $a$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

Schritt 4.5.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

Schritt 4.5.9

Mutltipliziere $\frac{1}{t^{2}}$ mit $\frac{a}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$