Analysis Beispiele

$x + y - 2 x^{3} = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x + y - 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y - 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + y' - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 + y' - 2 (3 x^{2})$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$1 + y' - 6 x^{2}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$- 6 x^{2} + 1 + y'$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 6 x^{2} + 1 + y' = 0$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Addiere $6 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$1 + y' = 6 x^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' = 6 x^{2} - 1$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 1$