Analysis Beispiele

$lim_{x \to 7} \sqrt[3]{\frac{2 - 8 x}{x - 5}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 7} \frac{2 - 8 x}{x - 5}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 7} 2 - 8 x}{lim_{x \to 7} x - 5}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 7} 2 - lim_{x \to 7} 8 x}{lim_{x \to 7} x - 5}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{2 - lim_{x \to 7} 8 x}{lim_{x \to 7} x - 5}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 8 lim_{x \to 7} x}{lim_{x \to 7} x - 5}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 8 lim_{x \to 7} x}{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 5}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 8 lim_{x \to 7} x}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 5}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $7$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 - 8 \cdot 7}{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 5}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 - 8 \cdot 7}{7 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $7$ .

$\sqrt[3]{\frac{2 - 56}{7 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 9.2

Subtrahiere $56$ von $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 54}{7 - 1 \cdot 5}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 54}{7 - 5}}$

Schritt 9.4

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$\sqrt[3]{\frac{- 54}{2}}$

Schritt 9.5

Dividiere $- 54$ durch $2$ .

$\sqrt[3]{- 27}$

Schritt 9.6

Schreibe $- 27$ als ${(- 3)}^{3}$ um.

$\sqrt[3]{{(- 3)}^{3}}$

Schritt 9.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$- 3$