Analysis Beispiele

$f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x + 3$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 4 x^{2} d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int 4 x^{2} d x$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int 4 x^{2} d x$

Schritt 10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 \int x^{2} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$\frac{5}{2} e^{u} + 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 12.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} e^{u} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 3$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$