Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{2}) (2 x^{2}) (3 - x) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} (x^{2} x^{2}) \cdot 2 (3 - x) d x$

Schritt 1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{2 + 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Schritt 1.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 (2)} \cdot 2 (3 - x) d x$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Schritt 1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} (3 - x) d x$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} \cdot 3 + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Schritt 1.5

Kombiniere $\frac{x^{4}}{2}$ und $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Schritt 1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 \cdot x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Schritt 1.7.2

Multipliziere $- \frac{x^{4}}{2} x$ .

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Schritt 1.7.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x \cdot x^{4}}{2} d x$

Schritt 1.7.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 1.7.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1} x^{4}}{2} d x$

Schritt 1.7.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1 + 4}}{2} d x$

Schritt 1.7.2.2.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Schritt 3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{5}}{2} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{5} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{5} x^{5}$ bei $3$ und $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{1}{6} x^{6}$ bei $3$ und $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $5$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $243$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.6

Addiere $\frac{243}{5}$ und $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{243}{5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.7

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{243}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 243}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $3$ mit $243$ .

$\frac{729}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.10

Potenziere $3$ mit $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.11

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $729$ und $6$ .

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Schritt 8.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $729$ heraus.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.12.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Schritt 8.3.13

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0)$

Schritt 8.3.14

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0 (\frac{1}{6}))$

Schritt 8.3.15

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{6}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0)$

Schritt 8.3.16

Addiere $\frac{243}{2}$ und $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{243}{2}$

Schritt 8.3.17

Mutltipliziere $\frac{243}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.3.18

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{4}$

Schritt 8.3.19

Um $\frac{729}{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4}$

Schritt 8.3.20

Um $- \frac{243}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.21

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $20$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.21.1

Mutltipliziere $\frac{729}{10}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.21.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 8.3.21.3

Mutltipliziere $\frac{243}{4}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Schritt 8.3.21.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{20}$

Schritt 8.3.22

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{729 \cdot 2 - 243 \cdot 5}{20}$

Schritt 8.3.23

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.23.1

Mutltipliziere $729$ mit $2$ .

$\frac{1458 - 243 \cdot 5}{20}$

Schritt 8.3.23.2

Mutltipliziere $- 243$ mit $5$ .

$\frac{1458 - 1215}{20}$

Schritt 8.3.23.3

Subtrahiere $1215$ von $1458$ .

$\frac{243}{20}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{243}{20}$

Dezimalform:

$12.15$

Darstellung als gemischte Zahl:

$12 \frac{3}{20}$

Schritt 10