Analysis Beispiele

$y = t^{2} \ln^{4} (t)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \ln^{4} (t)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln^{4} (t)] + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = \ln (t)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\ln (t)$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (t)$ .

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{1}{t}) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{t}$ und $4$ .

$t^{2} (\frac{4}{t} \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{4}{t}$ und $\ln^{3} (t)$ .

$t^{2} \frac{4 \ln^{3} (t)}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $t^{2}$ und $\frac{4 \ln^{3} (t)}{t}$ .

$\frac{t^{2} (4 \ln^{3} (t))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t^{2}$ und $t$ .

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Schritt 4.2.3.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} (4 \ln^{3} (t))$ heraus.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t^{1}} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2.3.2.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{1}$ heraus.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{t (4 \ln^{3} (t))}{1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.2.3.2.5

Dividiere $t (4 \ln^{3} (t))$ durch $1$ .

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) (2 t)$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$4 t \ln^{3} (t) + 2 t \ln^{4} (t)$