Analysis Beispiele

$y = {(- x - 1)}^{2} + 3$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(- x - 1)}^{2}$ als $(- x - 1) (- x - 1)$ um.

$f (x) = (- x - 1) (- x - 1) + 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $(- x - 1) (- x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1) + 3$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1) + 3$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (x) = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.5

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 1.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.6

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1 + 3$

Schritt 1.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x + 1 + 3$

Schritt 1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1 + 3$

Schritt 2

Addiere $1$ und $3$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 4$

Schritt 3

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Schritt 4.3

Vereinfache $- \frac{2}{2 (1)}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = - 1$

Schritt 5

Berechne $f (- 1)$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 4$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 (- 1) + 4$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 4$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 4$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$f (- 1) = 3$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 6

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- 1, 3)$

Schritt 7